对算法多样化、最优化的认识

常州市武进鸣凰中心小学  陆英

内容摘要：

算法多样化是采用学生自主探索这种学习方式后必然出现的现象。由于学生的知识储备不同，生活经验不同，看事物的着眼点不同，思考方式不同，在不受他人影响的情况下，产生不同的算法是一种必然的现象，不是教材或教师强加给学生的。承认算法多样化才能承认学生的自主探索。方法优化是人类永恒的追求，算法也不例外。客观上允许，主观上认同就是优良算法。

本学期，笔者听了本校两位一年级数学老师执教的“十几减九”（苏教版一年级下册第1页）两堂数学课，现摘录其中的两个教学片断和大家讨论。

案例一：

（多媒体演示）小猴卖桃，小兔买桃的童话情境图。

师：你知道了什么？

生：小猴在卖桃，一共有13个，小兔买了9个桃。

师：你怎么能很快看出来小猴有13个桃呢？

生：盒子里放了10个桃，盒子外面放了3个，一共13个桃。

师：观察得真仔细。那么根据这些信息可以提出什么问题？怎样列式呢？

生：还剩多少个桃子？13－9  （多媒体出示）

师：同意吗？  生：同意。

师：你们有办法算出13－9的得数吗？

学生活动。老师为学生每组准备了1捆和3根小棒。

活动要求：1、前后四人一组展开讨论交流；2、如果有困难，可以用小棒边操作边思考。

全班交流。

师：谁先来把自己组的讨论结果，说给大家听听，好吗？

生1：从盒子里拿出9个，剩下1个和外面的3个合起来是4个。（多媒体演示）

生2：把9分成3和6，先从13里减去3，再减去6，得4。（多媒体演示）

生3：想9加几等于13，因为9加4等于13，所以13减9等于4。（多媒体演示）

生4：先从13中去掉10，再用多减的1与3合起来是4。（多媒体演示）

师：小朋友们真棒！想出的几种算法都很好，谁还有不同的算法吗？（生不吱声）

师：有没有用小棒数的呢？

这时有生举手，生5：还可用数的方法，一个一个地去减1、2、3、…9，得4。（多媒体演示）

师：你真了不起，敢于说出自己的想法。

师：小朋友们真聪明，一下说出了这么多种算法，以后大家可以选择自己喜欢的方法计算。下面请小朋友们用你喜欢的方法来计算……

案例二：

（前面与案例一类同，但学生中没有出现“数的方法，即逐个减去法”，教师也没有诱导。）

……

师：小朋友们真聪明，一下说出了这么多种算法，哪大家来比较一下，说说你最喜欢哪一种，为什么？

生1：我喜欢第一种算法，因为10减9等于1，1加3等于4，好算。

生2：我喜欢第三种算法，因为想加法做简单。

生3：我喜欢第二种算法，我认为13减3等于10，10减6等于4好算。

生4：我喜欢第四种算法，因为把9凑成10好算。

师：小朋友们说得都有道理，那么你们认为那种算法算得更快一些呢？

生：第三种算法。

师：大家可以选择自己认为好的方法计算。下面请小朋友们用你认为好的方法来计算……

以上两个案例都是通过创设童话情境，引导动手操作、自主探索，组织学生广泛交流，呈现算法多样化。对于一年级的学生要不要提倡算法多样化？算法要不要优化？两个案例表现出了不同的观点。“案例1”只是提倡算法的多样化，张扬学生的个性，但教者是在教教材，她刻意的把教材中介绍的四种方法都教给了学生；“案例2”在呈现算法多样化的基础上，提倡算法的优化。在此我想就算法多样化与算法优化谈谈自己的认识。

一、为什么提倡算法多样化？

算法多样化是采用学生自主探索这种学习方式后必然出现的现象。由于学生的知识储备不同，生活经验不同，看事物的着眼点不同，思考方式不同，在不受他人影响的情况下，产生不同的算法是一种必然的现象，不是教材或教师强加给学生的。承认算法多样化才能承认学生的自主探索。

在这两个案例中老师都为学生创设了童话情境，在童话的情境中提供了能帮助学生探讨计算方法的直观材料，这些直观材料对计算方法的思考能起到支撑和导向作用。由于13个桃，有10个放在盒子里，3个放在盒子外，当思考如何减去9个时，学生就有可能看着图想到9个桃都从盒子里拿走，或先从盒子外拿走3个，再从盒子里拿走6个。这种基于直观材料和生活经验的思考便会引发计算方法的探究，自然会呈现算法的多样化。

二、教材呈现的，是否是必需教学的？

在本案例中，教材对“13－9”呈现了四种算法：第一种是一个一个地减去，通过操作得到结果；第二种是破十减，先从10个里减去9个，再把盒子外的1个和盒子里的3个合起来得到结果；第三种是平十减，先减去盒子外的3个，平了10，再减盒子里的6个得到结果；第四种是做减法想加法。到苏教版一年级下册第5页例2，15－8只呈现三种算法，分别是平十减、破十减和做减想加。

1、学生要不要掌握书上的每一种算法？　

只要承认书上的算法是教材编者的预测，就不要求每个学生都掌握这些算法。有的学生可能每种算法都理解，都会运用，这当然是好事，但不要求所有学生都达到这一水平。不过，要保证每一个学生至少会一种算法，不然他就无法计算。要做到这一点，课堂上要关注差生，让学习小组长帮助了解组内每个成员是否都能说出一种算法。对于一种算法也不会的学生，我们教师就要个别辅导教会他一种算法。

2、怎样处理教材中例举的算法？

我们只要承认，例举的算法是教材编者对学生可能产生的算法的预测，是帮助教师把握教材预测学情的。而课堂实况与教材预测完全相符的情况是很少的。那么一般情况下，课堂上我们只研究学生想到的算法，这些算法不管是书上有的还是没有的。对于书上低水平的思考方法，例如在“案例1”中一个一个地减学生没有提到，说明这班学生认识水平是比较高的，老师就不要再降到低水平上去启发学生来研究；对于书上高水平的思考方法，例如想加算减，如果学生没提到，教师可以合作者的身份深入浅出地引导学生思考。例如：我们知道4＋5＝9，就很容易想到9－4＝5，9－5＝4，那么做13－9时，你会想到哪道加法题呢？如果这样引导也无效，这种方法可暂时不学，在组织练习时安排9＋4＝13，与13－9＝4的沟通练习，再引导学生想加算减。

3、算法多样化不是一题多解、不是算法的全面化。

算法多样化是指群体的算法多样化，而不是个体要掌握多种算法。不能等同于一题多解。算法多样化充分体现了新课标中“不同的人学不同的数学”的教学理念。

提倡算法多样化也并非是让学生掌握每一种算法，而是通过反馈交流，评价沟通，求同存异，让学生体验、学习别人的思维活动成果，掌握适合自己的一种或几种方法。

三、算法要不要优化？

方法优化是人类永恒的追求，算法也不例外。问题是：什么是优良的算法？我认为评定算法是否优良应该有两个标准，一个是客观标准，一个是主观标准。所谓客观标准，就是方法本身是繁琐还是简单，是耗时还是省时，就退位减来讲，低水平的一个一个地减去的办法肯定要淘汰，其他三种算法就思考难度来讲，想加算减大一些，而计算速度在进位加熟练的情况下想加算减快一些，可以说三种算法难分优劣。所谓主观标准，就是学习者本身对算法的认识，哪些算法学生能理解算理，掌握方法，运用纯熟，哪种算法他认为就是优良算法。综合来看，客观上允许，主观上认同就是优良算法。

算法的优化是动态、变化着的，不是一成不变的。一种算法，对于不同的个体来说，他们的理解与接受的程度是不同的，通俗地说，就是对于A同学来说某种方法可能是最简单的，最优化的，而对于B同学来说，却不是最优化的，这与学生的学习能力有着密切的联系。同时算法的优化又是随着时间的推移在发生不断的变化的。如，刚开始学习“十几减几”退位减法时，可能对学生来说，“破十”法是比较简单的，容易接受，但随着时间的推移，练习量的增加，“想加算减”和“ 利用两道相关减法算式的联系，由一道算式想到另一道算式”可能就是比较适合学生的算法了。

接下来的问题是怎样优化？优化算法的过程是学生进行多种算法的理解、比较、选择的过程，在这个过程中学生可能加深对自己原有算法的理解和确认，也可能放弃自己的算法而学习、吸纳别人研究出来的算法，从而对自己的认识进行修正或完善。所以算法优化的过程是学生认知水平提高的过程，那种认为学生原来的算法就是最好的不需提高的看法是带有片面性的。

优化的途径有两条：一条是学生在探索之后的相互交流，包括师生的交流中优化自己的算法。如“案例2”的教学。另一条是通过一段时间的计算实践，通过教材中的题组练习逐渐优化自己的算法。苏教版一年级下册第2页第2题、第3页第1题，第6页第3题，第7页第1题，第8页第8题等等都是在沟通加减法的联系，利用加法算式的记忆和加减互逆关系的理解快速计算减法。这也说明了优化的过程是一个渐进的过程，是学生逐渐感悟、理解、接受的过程，不能用背诵思路的方法去解决。

总之，在教学中，教师要尊重学生的不同算法，要尊重学生的独立思考，确保学生会计算，而对于优化的算法教师及时组织他们在活动中加以强化。